请问：1009的倒数的循环节长度是多少？是1008吗？ 6700417的倒数循环节长度，是6700416吗？？？
一个最简分数，如果分母只含因数2和5，则它可以化成有限小数。
如果最简分数的分母不含有因数2和5，则它可以化成纯循环小数；如果它的分母含有因数2或5，也含有2和5以外的因数，则它可以化成混循环小数。
循环节的位数，小于分母，但不一定是分母减1。如1/7、1/11、1/21三个分数化成循环小数后循环节的位数分别是六位、两位、六位。
所以，1/6700417化成循环小数后，循环节的位数，一定少于6700417位。但不一定是6700416位。
可以证明一定为质数.
实际上, 设n > 1是与10互质的正整数, 可以证明1/n的循环节长度一定是φ(n)的约数 (*).
其中φ为Euler函数, φ(n)表示不大于n并与n互质的正整数个数.
当n为合数时, 易得φ(n) < n-1, 进而φ(n)的约数 < n-1.
故1/n的循环节长度一定小于n-1.
所以使1/n的循环节长度为n-1的n一定为质数.
要证明(*), 首先将循环节长度进行如下转换.
易知将1/n的小数点右移k位得到的数为10^k/n.
若k是1/n的循环节长度, 则k是使得10^k/n与1/n小数部分相同的最小正整数,
也就是使(10^k-1)/n是整数, 或者说使10^k-1被n整除的最小正整数.
更为一般的, k是1/n小数部分的周期, 当且仅当10^k-1被n整除.
其中循环节长度是最小的正周期, 任意周期都是它的倍数.
数论中有Fermat-Euler定理:
若正整数a与n互质, φ为Euler函数, 则a^φ(n)-1被n整除.
与此相关有原根的概念:
若k = φ(n)是使a^k-1被n整除的最小正整数, 则称a是n的一个原根.
取a = 10, 有(10^φ(n)-1)/n是整数.
由此可知φ(n)一定是1/n小数部分的一个周期.
而最小正周期(循环节长度)一定是φ(n)的约数, 即(*).
当n为质数时, φ(n) = n-1, 因此1/n的循环节长度是n-1的约数, 可能等于n-1.
至于具体哪些质数的循环节长度为n-1, 容易知道就是那些以10为原根的质数.
不过, 据我所知, 至今没有证明这样的质数有无穷多.
对于任何大于等于7的奇素数m，m的倒数的循环节长度是m-1,
如1/7=0.142857142847.......循环节为6
一般情况没有这么简单，若m为奇数，且不是5的倍数，则1/m的循环节具体多长，得找到最小的整数n，让10的n次方-1 是m的倍数，那么m就是循环节的长度。
因为9,99,999,9999,99999都不是7的倍数，但999999=7*142857
m为正偶数或5的倍数，设m=(2^a)(5^b) p 其中p为奇数,且p不是5的倍数 ，
取c=a，b的最大值 。则1/m=（1/10^c） [2^(c-a)5^(c-b) /p] 等看1/p的循环节啦
如1/60=(1/100) (5/3)=0.0166666666666666。。。。。。。。
1/3的循环节为1 ，1/60的循环节也为1
一次规律
1/1000不循环
1/1001循环节长度 6 1/1001=999/999999
1/1002循环节长度 166
1/1/1003循环节长度 464
1/1004循环节长度 50
1/1005循环节长度 33
1/1006循环节长度 502
1/1007循环节长度 234
1/1008循环节长度 6 1/1008=9920625/9999990000
1/1009循环节长度 252
1/1010循环节长度 4 1/1010=99/99990
1/1011循环节长度 336
1/1012循环节长度 22
1/1013循环节长度 253
1/1014循环节长度 78
1/1015循环节长度 84
1/1016循环节长度 42
1/1017循环节长度 112
1/1018循环节长度 508
1/1019循环节长度 1018
1/1020循环节长度16
...节的简单方法?比如:求1\/133化成小数后循环节长度是几?其中有几个6...
有，对于分母末位数字是1，3，7，9的整数，分数值都是纯循环小数。而且通过分子分母同乘一个数，可化成分母末位数字是9，然后分母加1，再除以10，用得数M除分子可从前面向后得到循环节各位数字；用M逐位乘分子各位数字...
...的倒数,我们发现:17=0.?14285?7,这是一个循环小数,循环节的位数是偶...
11的倒数为111=0.?0?9，不符合题意要求，13的倒数为113=0.?07692?3，循环节的位数是偶数，把循环节076923从中分成两半076和923，相加等于999，符合题意，14的倒数为114=0.0?71428?5，循环节的位数是偶数，把循环节...
0.720202…怎样用循环节表示?
循环节是20。如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。例如：3.1212121...这个数是循环小数，循环节是21，数字2和1一直重复...
1121123211234321中第2000位数字是什么?
归纳计算公式就有点繁琐。因此，编程进行计算。结果是：第2000位在第36节的倒数第26个位置上，是8。附：计算结果和fortran代码 输出结果的每行，从左到右分别是：节号，节长度，累计长度，节数字串。
...添上表示循环节的两个点,使其变成循环小数,已知小数点后_百度...
这个循环小数只能是 0.73823î69345ô (循环节长度为7,在1和0上打点)--- 若小数点后第100位上的数字是3,第101位上的数字是4 则 循环节长度在4和12之间 因为 (100+3-12)=91 必须是循环节...
4.954954……的循环节是多少用简便方法记作多少?
可能有更好的办法。事实上提出这个问题的初衷，是发现大数分解问题可以转化为求一个大数的倒数的循环节的长度 给定n，在RSA加密中，n肯定是两个质数的积。设n=p*q，此时1\/n的循环节的长度l|gcd(p-1,q-1)。
一个循环小数依次不断重复出现的什么
对一个大整数求倒数，用牛顿法可以快速达到很高的精度，但需要的空间很大。如果求一个10^300数量级的质数p的倒数，其循环节长度有可能达到p-1，没有一台计算机的内存能够储存整个循环节的数据。如果用普通的除法，只需储存...
数学数论证明题最小循环节长度不大于除数
a_(p+2)=a_(q+2)；...；r_(q-1)=r_(2q-p-1)，a_(q-1)=a_(2q-p-1)；r_q=r_(2q-p)，a_q=a_(2q-p)。即循环节长度为q-p≤b(说明：当q-p=1,且a_p=0时，实际上就是有限小数)。
0.60606……的循环节是多少
研究背景：对一个大整数求倒数，用牛顿法可以快速达到很高的精度，但需要的空间很大。如果求一个10^300数量级的质数p的倒数，其循环节长度有可能达到p-1，没有一台计算机的内存能够储存整个循环节的数据。如果用普通的除法...
排列组合 一个纯循环小数,整数部分是1,循环节的长度是4这样的循环小数...
循环节每个数字可以从0到9种任选，但不能为AAAA、ABAB格式，10^4-10²=10000-100=9900，这样的循环小数有9900个。
