6700417的倒数循环节长度，是6700416吗？？？ 请问：1009的倒数的循环节长度是多少？是1008吗？
991009的倒数的循环节长度是1008,对的，
对于任何大于等于7的奇素数m，m的倒数的循环节长度是m-1,
如1/7=0.142857142847.......循环节为6
一般情况没有这么简单，若m为奇数，且不是5的倍数，则1/m的循环节具体多长，得找到最小的整数n，让10的n次方-1 是m的倍数，那么m就是循环节的长度。
因为9,99,999,9999,99999都不是7的倍数，但999999=7*142857
m为正偶数或5的倍数，设m=(2^a)(5^b) p 其中p为奇数,且p不是5的倍数 ，
取c=a，b的最大值 。则1/m=（1/10^c） [2^(c-a)5^(c-b) /p] 等看1/p的循环节啦
如1/60=(1/100) (5/3)=0.0166666666666666。。。。。。。。
1/3的循环节为1 ，1/60的循环节也为1
一次规律
1/1000不循环
1/1001循环节长度 6 1/1001=999/999999
1/1002循环节长度 166
1/1/1003循环节长度 464
1/1004循环节长度 50
1/1005循环节长度 33
1/1006循环节长度 502
1/1007循环节长度 234
1/1008循环节长度 6 1/1008=9920625/9999990000
1/1009循环节长度 252
1/1010循环节长度 4 1/1010=99/99990
1/1011循环节长度 336
1/1012循环节长度 22
1/1013循环节长度 253
1/1014循环节长度 78
1/1015循环节长度 84
1/1016循环节长度 42
1/1017循环节长度 112
1/1018循环节长度 508
1/1019循环节长度 1018
1/1020循环节长度16
可以证明一定为质数.
实际上, 设n > 1是与10互质的正整数, 可以证明1/n的循环节长度一定是φ(n)的约数 (*).
其中φ为Euler函数, φ(n)表示不大于n并与n互质的正整数个数.
当n为合数时, 易得φ(n) < n-1, 进而φ(n)的约数 < n-1.
故1/n的循环节长度一定小于n-1.
所以使1/n的循环节长度为n-1的n一定为质数.
要证明(*), 首先将循环节长度进行如下转换.
易知将1/n的小数点右移k位得到的数为10^k/n.
若k是1/n的循环节长度, 则k是使得10^k/n与1/n小数部分相同的最小正整数,
也就是使(10^k-1)/n是整数, 或者说使10^k-1被n整除的最小正整数.
更为一般的, k是1/n小数部分的周期, 当且仅当10^k-1被n整除.
其中循环节长度是最小的正周期, 任意周期都是它的倍数.
数论中有Fermat-Euler定理:
若正整数a与n互质, φ为Euler函数, 则a^φ(n)-1被n整除.
与此相关有原根的概念:
若k = φ(n)是使a^k-1被n整除的最小正整数, 则称a是n的一个原根.
取a = 10, 有(10^φ(n)-1)/n是整数.
由此可知φ(n)一定是1/n小数部分的一个周期.
而最小正周期(循环节长度)一定是φ(n)的约数, 即(*).
当n为质数时, φ(n) = n-1, 因此1/n的循环节长度是n-1的约数, 可能等于n-1.
至于具体哪些质数的循环节长度为n-1, 容易知道就是那些以10为原根的质数.
不过, 据我所知, 至今没有证明这样的质数有无穷多.
如果最简分数的分母不含有因数2和5，则它可以化成纯循环小数；如果它的分母含有因数2或5，也含有2和5以外的因数，则它可以化成混循环小数。
循环节的位数，小于分母，但不一定是分母减1。如1/7、1/11、1/21三个分数化成循环小数后循环节的位数分别是六位、两位、六位。
所以，1/6700417化成循环小数后，循环节的位数，一定少于6700417位。但不一定是6700416位。
欧拉函数
欧拉定理
6700417是素数。6700417整除10^6700416-1
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6700416 = 2^7×3×17449
约数：{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384, 17449, 34898, 52347, 69796, 104694, 139592, 209388, 279184, 418776, 558368, 837552, 1116736, 1675104, 2233472, 3350208, 6700416}
经过检验，6700416是循环节的最小长度。
6700417的倒数循环节长度是6700416位,就是通过3*1404^2+887^2计算出来的,经检验1404和887都不是5的倍数,(6700417-1)/1=6700416,长度为6700416,1不是3的倍数.
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