什么是循环小数 循环小数是什么？

循环小数是什么？

循环小数是一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。
循环小数分为纯循环小数和混循环小数两种。
从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数。纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1/3)，0.1428571428571....(1/7)等。顾名思义，纯循环小数就是在纯小数的基础上变成循环小数。
混循环小数是从十分位后开始循环的小数，如0.1666666666...(1/6)，0.009090909....(1/110)等。

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化分数表示：
1、纯循环小数：
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999。

2、混循环：
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。
例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990 0.55889888988898...=(558898-55)/999900。
参考资料来源：百度百科-循环小数

一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating decimal）。其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。

循环小数会有循环节（循环点），并且可以化为分数。

两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。

循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

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一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

1、纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

2、混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

二、分数转化成循环小数的判断方法：

1、一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

2、一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

参考资料来源：百度百科-循环小数

        这是两个概念的结合，十进制和循环小数，但因为十进制是日常使用最多的计数方法，我们平常说的循环小数实际也是十进制下的循环小数。

        我们日常使用最多的计数方法（俗称“逢十进一”）,它的定义是:“每相邻的两个计数单位之间的进率都为十”的计数法则,就叫做“十进制计数法”。

        循环小数是一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating decimal）。循环小数会有循环节（循环点）。例如

如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

例如：

循环小数
　　循环小数英文名：circulating
decimal
　　两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。
　　从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（纯循环小数），20.333333…（纯循环小数）等，被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如：
　　2.166666...
缩写为
2.
16（6上面有一个点；它读作“二点一六，六循环”）
　　35.232323…缩写为
35.23（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）
　　循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。
　　所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
编辑本段
例如
　　循环小数的问题中，最著名的是0.999…是否等于1的问题代数方法为：
　　证明:
　　假设X=0.999...
　　∵
　　10X
=
9.999...
0.999...
　　即
　　9x
=
9
　　∴
　　x
=
1
　　以上的推理过程都是比较严密的，并不是所谓0.3=1/3而0.9<1（这个才是最高级的证明，大家都要学会这种紧扣定义的证明方法，而不是这个看似严谨，其实缺乏严谨的证明）。在我们所使用的数学中，
0.9（9循环）=1。
　　lichangbai1947评论：这个证明有问题。因为没有注意无穷的复杂性。其实上面的证明有两个结果，一个是：
　　x=1
　　即上面已经得出的结果。但是如果从
　　10x=9.99...
　　出发，把两边同时除以10，则得到的还是
　　x=0.999....
　　这两个结果中应该只有一个是正确的。很显然，x=0.999...的结果比x=1的结果更可信。没有仔细考察就对无穷进行推论是不合适的。
　　我已经证明了1不等于0.999...。
　　利用逻辑非常容易证明0.9…≠1。
　　请比较下面的两个式子：
　　1=1-1/10
(n→∞)
(1)
　　1=1-1/10
+
1/10
(n→∞)
(2)
　　这两个式子显然不完全相同，有差别。所以应该只有一个是正确的，不可能两个都是正确的。稍微细心一些，就会看出（1.1）式的右侧比（1.2）式的右侧少一个1/10。所以（1.2）式肯定是正确的，而（1.1）式就不成立。
　　但是（1.1）式的右侧就是0.9...。
　　而认为1/10=0会导致任何数都相等
　　如果认为
　　1/10=0（它是认为0.9…=1的直接推论）（3）
　　而且认为它是严格的相等，则由于“严格地相等”可以无穷递推，即得到：
　　2×1/10=0，
（4）
　　3×1/10=0，
（5）
　　…
　　无穷地增加下去，总有一个时刻会得到：
　　10×1/10=0。
（6）
　　但是一个显然的事实是：（1.2.4）式的右侧等于1，而不是0。
　　再同样地推下去，则任意两个数都可以相等。这显然太荒谬了。
　　还可以利用计算的数值的结果证明。但是需要微积分。故略。可以查看李长白数学网的有关文章。
　　以上方法严格讲都是有缺陷的,真正的方法如下:
　　依照循环小数定义:
　　如1/3
在进行除法运算的时候,
　　在用三除的时候余下的一位为1,这样继续进行下去的时候,根据归纳可知,这个小数后面会有无数个3,而且都
是三,所以1/3
=
0.3
3循环
　　然后我们看0.9
9循环
　　我们用1/1来进行计算,不同的是,我们不要一次将1除尽,我们直接退位进行计算
　　第一步就是得0.9余0.1,这个没有问题,也不违反任何运算规则,
　　通过这样的方式计算,可以得出1/1通过除法运算的时候可以表示为0.9
9循环
　　即0.9
9循环等于1
　　证毕
　　没有用到极限(根本和循环小数无关的),和循环小数运算法则!
　　只用了分数除法,和循环小数定义!
编辑本段
注意
　　特别注意的是　：
　　无理数的定义是无限不循环小数，由此可以判定无限不循环小数是无理数（因为定义也是判定）。
　　循环小数化分数
　　将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.　
　　例如
.
.
.
　　0.1=1/9
0.1234=1234/9999
　　混循环：　将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
　　例如：　0.1234=(1234-1)/9990
0.558898=(558898-55)/999900
　　这个概念是错的
　　有限小数的小数位数是有限的
　　循环小数的小数位数是无限的
　　因此，有限循环小数这个说法本身就是错误的，希望有权限的编辑者对这个词条的定义进行更改。
　　相关的定义详见小学课本（五年级上学期的学习内容）
　　请不要误导祖国的花骨朵、还有可怜的花骨朵的爸爸妈妈们

两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。 循环小数可分为有限循环小数,如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。 从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666…，35.232323…等，被重复的一个或一节数码称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如： . 2.166666... 缩写为 2.16（读作“二点一六，六循环”） 0.34103103…103…缩写为 0.34103（读作“零点三四一零三，一零三循环”） 循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）法化为分数。 所以在数的分类中，循环小数属于有理数。

一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating decimal）。循环小数会有循环节（循环点）。
两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。
循环小数化分数：将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999

什么是循环小数?
循环小数是一个无限不循环的小数，它的小数部分会按照一定的规律重复出现。为了表示循环小数，通常使用一个以上划线的数字来表示重复的部分。例如，将数字1除以3，结果是0.33333...，小数部分以3循环重复。在表示循环重复部分时，可以用括号或在重复部分上方画线，也可以在重复部分上加点。因此，1除以3...

什么是纯循环小数什么是混循环小数
1.循环小数依照循环开始的数位的不同，可以分为纯循环小数和混循环小数。2.纯循环小数：从小数部分第一位开始循环的循环小数，也就是从十分位开始循环的小数，例如0.33333...是从十分位3开始循环。2.混循环小数：从十分位后的数位开始循环的小数，例如0.16666...是从百分位开始循环。

循环小数是什么,循环节是什么?
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating decimal）。循环小数会有循环节（循环点），并且可以化为分数。如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。 把循环...

什么叫循环小数?
循环小数，是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。循环小数（circulating decimal），是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。循环小数会有循环节（循环点），并且可以化为分数。两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一...

什么叫无限循环小数?什么叫无限不循环小数?
一、无限不循环小数 一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。二、无限循环小数 一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……三、有限小数 小数部分的数位是有限的小数，叫做...

什么是循环小数,什么叫混循环小数,什么叫纯循环小数
从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数。纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1\/3)，0.1428571428571...(1\/7)等。顾名思义，纯循环小数就是在纯小数的基础上变成循环小数。一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating ...

纯循环小数和混循环小数是什么?
纯循环小数指的是从小数部分第一位开始的循环小数 ,亦就是在纯小数的基础上变成循环小数。纯循环小数是从十分位开始循环的小数,如0.3333333..(1\/3),0.1428571428711...(1\/7)等。混循环小数是指不是第一位开始循环的小数 ,如0. 6666666..(1\/6).0.009090909...(1\/110)等。循环小数：1、...

什么是循环小数,什么是纯循环小数
1、一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数 2、从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数．纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1\/3),0.1428571428571...(1\/7)等

什么是循环小数?
问题一：什么是循环小数 两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。 循环小数可分为有限循环小数,如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。 从小数点后某一位开始不断地重复...

什么是无限小数、无限循环小数和有限小数?
一、无限不循环小数 一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。二、无限循环小数 一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……三、有限小数 小数部分的数位是有限的小数，叫做...